Di dunia ini dipandang dari segi filsafat banyak sekali kutub-kutub yang saling berlawanan. Dari dalam filsafat sendiri, yaitu pertama, ontologi yang mempelajari tentang hakikat, di kutub yang satu terdapat intensif dan ekstensif di kutub yang lain dan masih pada sumbu yang sama, terdapat tidak intensif dan tidak ekstensif. Kedua, epistemologi, terdapat suatu justifikasi mengenai baik dan buruk. Keduanya berada di dua kutub yang berlawanan. Ketiga, aksiologi, terdapat etik dan tidak etik yang keduanya juga berada di dua kutub yang berlawanan. Selain itu, ada lebih banyak lagi yang berada di dua kutub yang berbeda. Antara ada dan tidak ada, antara mitos dan logos, antara fatal dan vital, antara obyektif dan subyektif, antara ciloko (celaka) dan bejo (beruntung), kesemuanya itu terletak di dua kutub yang berlawanan membentuk suatu bola dunia. Mengapa? Karena kesemuanya itu tidak berdiri dengan sendirinya, mereka saling berinteraksi.

Di antara kutub-kutub yang berlawanan itu ada sebuah sumbu. Semua sumbu-sumbu itu tidak saling terpisah, melainkan bergabung menjadi satu kesatuan yang akhirnya membentuk bola dunia. Dalam bola dunia itu mencerminkan kehidupan kita yang sebenarnya. Kehidupan kita tidak terlepas dari yang ada dan yang mungkin ada yang semuanya tercakup dalam kumpulan sumbu-sumbu tadi. Itulah unsur-unsur yang

Salah satu dari kumpulan sumbu-sumbu itu ada yang unsurnya masa lalu, masa sekarang, dan masa yang akan datang. Antara masa lalu dan masa yang akan dating terletak di kutub yang berlawanan, sedangkan masa sekarang terletak di tengah-tengah sumbu. Antara masa lalu, masa sekarang, dan masa yang akan datang tidak bisa dipisahkan satu-satu. Masa lalu akan mempengaruhi masa sekarang dan masa depan. Untuk itu, kita sebagai manusia harus selalu merefleksikan diri agar bias menjadi manusia yang lebih baik.

Jika bola dunia tadi kita transformasikan ke dalam matematika maka akan membentuk dimensi-dimensi yang banyaknya tak terbatas. Misalnya saja dimensi 2, elemen-elemennya hanya ada 2, yaitu x1 dan x2. Untuk dimensi 3, elemen-elemennya ada 3, yaitu x1, x2, x3. Semaik banyak elemen-elemennya maka akan membentuk dimensi n. Maka itulah dimensi dunia matematika.

Kuliah Filsafat Pendidikan Matematika dengan Dr. Marsigit

PERTANYAAN-PERTANYAAN

1. Apakah filsafat mempelajari dirinya sendiri?

Kita tahu bahwa dalam filsafat terdapat 3 aspek penting, yaitu ontologi, epistemologi, dan aksiologi. Dari masing-masing tersebut juga bias dipelajari ontologi, epistemologi, dan aksiologinya.

Ontologi dari ontology, yaitu hakikat dari hakikat yang merupakan sang Pencipta.

Ontologi dari epistemologi, yaitu hakikat cara atau metode. Misalnya ritual pernikahan adat Jawa, setiap cara-caranya mempunyai hakikat tersembunyi.

Ontologi dari aksiologi, yaitu hakikat estetika

Epistemologi dari ontologi, yaitu apa metode hakikat.

Epistemologi dari epistemologi, yaitu tentang kebenaran metode. Misalnya dalam suatu metode kita harus tau kebenarannya.

Epistemologi dari aksiologi, yaitu mempelajari sumber-sumber estetika.

Aksiologi dari ontologi, yaitu estetikanya hakikat. Misalnya membicarakan Tuhan harus pada tempatnya misalnya di masjid, gereja, dan sejenisnya.

Aksiologi dari epistemologi, yaitu mengkritisi cara sehingga mencapai estetikanya suatu kebenaran.

Aksiologi dari aksiologi, yaitu bicara etik secara etik juga. Misalnya saat pernikahan diberikan petuah-petuah sebelumnya.

2. Bagaimana mengajak teman yang tidak mau sholat menjadi mau sholat?

Pertanyaan yang sangat berat dan sulit untuk dijawab. Sholat adalah tingkatannya sudah pada tingkatan spiritual. Tingkatan spiritual ini adalah tingkatan yang paling tinggi karena urusannya sudah pada Tuhan sehingga untuk mengajak seseorang untuk sholat sangatlah sulit. Untuk seseorang yang mau sholat haruslah dari kesadaran dirinya sendiri, akan tetapi jika tidak pernah sholat, perlu adanya seorang guru spiritual.

Seberapa krusial peran filsafat dalam pembenaran bangsa?

Filsafat menjadi suatu hal yang sangat krusial jika penguasa memanfaatkan filsafat untuk mengeksploitasi orang atau rakyatnya. Contohnya adalah seperti Hitler yang menggunakan filsafat dalam masa pemerintahannya.

3. Bagaimana cara mengenali karakter siswa?

Cara untuk mengenali karakter siswa adalah dengan membangun komunikasi yang baik dengan siswa.

4. Apakah festival dalang cilik relevan jika ditonton orang dewasa?

Dalam suatu pewayangan terdapat filosofi yang mengandung ontologi, epistemologi, dan aksiologi. Sedangkan wayang yang dimainkan oleh seorang dalang cilik hanya mencakup ontologi saja atu mungkin sedikit epistemologinya. Seorang dalang cilik hanya menyampaikan sesuatu melalui wayang seperti yang dia lihat dari orang-orang dewasa atau dengan kata lain meniru. Oleh karena itu belum ada nilai estetikanya atau dalam pewayangan tersebut belum terdapat aksiologinya.

5. Bagaimana cara menghilangkan rasa gugup dan panik?

Menghilangkan rasa panik dan gugup adalah dengan berdoa dan istigfar. Karena sekecil-kecilnya rasa panik dalam hati adalah godaan dari syetan. Berbeda dengan panik dalam pikiran, sebesar-besarnya panik dalam pikiran adalah ilmu.

6. Apakah hubungan sejarah dengan filsafat?

Sejarah mempelajari yang tadi atau masa lalu. Sedangkan filsafat mempelajari yang tadi, sekarang, dan yang akan datang. Kamera di dalam filsafat bisa menjadi suatu mesin waktu karena dapat mengabadikan kejadian yang telah lalu (yang tadi).

7. Apakah filsafat dari gending jawa?

Filsafat dari gending jawa adalah harmoni yaitu sadar ruang dan waktu. Alat-alat musik jawa atau gamelan memiliki bunyinya masing-masing. Ketika mereka dibunyikan mereka tidak bunyi sendiri-sendiri melainkan membentuk suatu harmoni suara yang saling mengisi satu dengan yang lainnya. Sama dengan halnya dalam sebuah keluarga, untuk menciptakan harmoni adalah saling mengisi, mengerti apa yang dirasakan.

8. Mengapa Syekh Siti Jenar mengaku-aku dirinya adalah tuhan?

Tidak hanya Syekh Siti Jenar yang mengaku-aku dirinya sebagai tuhan, mungkin secara tidak sadar itu juga bisa terjadi di diri kita. Yaitu ketika sedang beribadah, seolah-olah telah menyatu dengan tuhan kemudian lupa sehingga muncul kesombongan diri.

9. Bagaimanakah orang yang bijaksana itu?

Sebenarnya tidak ada orang yang benar-benar bijaksana, yang ada adalah orang yang berusaha untuk bijaksana. Hanya orang-orang tertentu yang bisa bijaksana yaitu Rosul dan yang paling bijaksana adalah satu yaitu Allah SWT. Dalam filsafat, orang yang bijaksana adalah orang yang berilmu dan orang yang mencari ilmu.

10. Bagaimana agar siswa dapat memahami konsep yang diajarkan? Dan bagaimana agar siswa menjadi kreatif?

Guru seharusnya sebagai fasilitator agar siswa membangun ilmunya sendiri. Jika kita hanya mengajarkan saja, maka kita sudah bersikap determinan terhadap siswa-siswa kita. Agar siswa menjadi kreatif maka mereka harus merdeka dalam pikiran. Jika tidak ada kemerdekaan maka akan membunuh kreatifitas siswa. Akan tetapi menjadi sebuah dilema, ketika diberikan kemerdekaan siswa menjadi kurang ajar. Sama halnya saat reformasi, yaitu setelah adanya kebebasan berpendapat, orang cenderung menjadi kurang ajar dan arogan karena merasa bebas.

11. Apakah dalam filsafat selalu menjunjung tinggi ruang dan waktu?

Tidak harus semua ruang dan waktu dijunjung tinggi. Ada kalanya kita mengabaikan suatu ruang dan waktu untuk menghargai ruang dan waktu lainnya.

12. Apakah hati dan pikiran harus berjalan seimbang?

Hati adalah payung dari segalanya termasuk pikiran, termasuk dalam dimensi komunikasi.

Sumber utama: Perkuliahan Filsafat Pendidikan Matematika oleh Dr. Marsigit, MA pada 21 April 2011

Dari kehidupan sehari-hari mulai sejak dahulu kala, peradaban manusia hingga sekarang adalah suatu fenomena dalam filsafat. Peradaban-peradaban manusia, ada Mesopotamia, Babilonia, Mesir dan terutama Yunani mulai berpikir tentang matematika. Orang-orang Yunani mulanya berpikir tentang matematika dengan cara abstraksi dan idealisasi untuk menghilangkan atau membebaskan matematika dari ruang dan waktu. Abstraksi dan idealisasi dilakukan untuk memperoleh bukti.

Dari alam transenden pikiran manusia disebut sebagai noumena, segala sesuatu dianggap menjadi dua, yaitu segala sesuatu itu bersifat tetap (oleh Permenides) atau segala sesuatu itu bersifat berubah (oleh Heraclitos). Segala yang ada di pikiran manusia bersifat tetap sedangkan yang ada di kehidupan sehari-hari atau fenomena bersifat berubah.

Suatu sistem, struktur, dan bangunan memiliki fundamen. Fundamen ini bergantung pada darimana ia memulai, jika dimulai dari sesuatu yang jelas maka disebut fundamentalism sedangkan jika ia dimulai dari yang tidak jelas maka disebut intuitionism. Dilihat darimana matematika dimulai maka matematika bisa berarti tunggal, dual, multi, atau plural. Matematika yang dual maka bisa berarti matematika itu absolut atau relatif. Oleh karena itu, manusia perlu berpikir secara ekstensif dan intensif sehingga secara filsafat dapat menterjemahkan atau menemukan maknanya.

Dalam filsafat matematika terdiri dari tiga jalur, yaitu
1. Ontologi Matematika
2. Epistemologi Matematika
3. Aksiologi Matematika.

Suatu ketika berkembang pemikiran matematika berkembang dari sebuah awal. Matematika ini adalah matematika fundamentalis, formalis, dan aksiomatis dengan sifat-sifatnya rigor atau apodiktif, konsisten, tunggal, pasti, koheren, identitas, dan absolut. Tokoh matematika yang seperti ini adalah Hilbert. Akan tetapi, matematika ini adalah dalam ranah pikiran manusia yang terbebas dari dimensi ruang dan waktu, dengan kata lain matematika ini disebut pure-mathematics.

Di sisi lain, dalam kehidupan sehari-hari terutama di sekolah, matematika yang dibutuhkan adalah matematika yang terikat oleh ruang dan waktu sehingga matematika sekolah ini bersifat kontradiktif, relative, plural, dan korespondensif. Oleh karena itu, akan sangat bahaya bila pure-mathematics diterapkan dalam sekolah. Jika pure-mathematics benar-benar diterapkan dalam sekolah yang terjadi adalah sebuah kehancuran. Matematika dianggap sulit oleh siswa.

Abstraksi dalam bahasa Inggris adalah asitraction. Kata ini berasal dari bahasa Latin abstractio (dari abstrabere yang artinya “menarik dari"). Kata abstractio dapat disejajarkan dengan kata Yunani aphairesis. Secara harfiah abstraksi berarti memisahkan suatu bagian dari suatu keseluruhan.
Segala sesuatu yang ada di dunia ini dapat diabstraksikan. Manusia melakukan abstraksi dari bumi menjadi sebuah bentuk titik ‘.’ . Titik tersebut bias berada di dalam pikiran atau di luar pikiran kita. Dari abstraksi tersebut dikembalikan lagi ke bumi, gunanya adalah untuk menterjemahkan bumi. Karena bumi bergerak dalam ruang dan waktu maka titik sebagai abstraksi tersebut terdapat fakta dan potensi. Jika titik tersebut dapat disadari maka titik tersebut akan bermakna.
Bagaimana titik yang sebagai abstraksi ini menjadi suatu daya untuk menterjemahkan dunia? Dari sebuah titik kita dapat membuat apa saja, bisa garis, bidang datar, lingkaran, kurva, bentuk kubus, bola, dan sebagainya. Jika dari titik bisa dijadikan sebuah garis maka titik tersebut adalah potensi dan garis tersebut adalah faktanya. Jika titik tersebut dibuat ke dalam spiral dan dunia sebagai isinya maka dunia tersebut bergerak dalam ruang dan waktu. Jika kita menterjemahkan dunia dengan mengunakan analogi dan itu ada di dalam pikiran kita maka itu hanyalah setengahnya dari dunia sehingga setengahnya lagi yang diperlukan adalah fakta, pengalaman, atau realita.
Dalam sebuah konsep, abstraksi dari kehidupan nyata dapat dibuat sebagai kurva normal. Dalam kurva normal kita tahu bahwa terdapat standar deviasi atau besarnya penyimpangan dan tanda keputusan atau batas toleransi. Bagian normalnya ada bagian tengah yang paling cembung. Dalam kehidupan nyatanya, yang melebihi batas toleransi adalah sebuah masalah dan bagian normalnya adalah kehidupan yang bahagia. Sesuatu yang menjadi masalah perlu “ruwatan”. Ruwatan disini adalah sebagai suatu penjelasan. Dalam ilmu filsafat hal yang paling penting adalah penjelasan. Penjelasan menghindari sesuatu yang disebut mitos, karena mitos adalah musuh terbesar dari filsafat. Maka penjelasan itu lah yang membuat mitos menjadi logos. Jika tidak mampu memberikan penjelasan maka itu disebut dogma atau otoritarian.
Immanuel Kant menyatakan bahwa dalam pikiran manusia terdapat empat kategori, yaitu kualitatif, kuantitatif, kategori , dan relasi. Sedangkan dalam otak kita ada dua cara berpikir yaitu naik dan turun. Naik jika dihubungkan dengan logika dan apriori, sedangkan turun jika dihubungkan dengan sintetik dan pengalaman.

Student’s mathematical thinking has three aspects, they are mathematical attitudes, mathematical methods, and mathematical contents.
I. Mathematical Attitudes
1. Attempting to grasp one’s own problems or objectives or substance clearly, by oneself
(1) Attempting to have questions
(2) Attempting to maintain a problem consciousness
(3) Attempting to discover mathematical problems in phenomena
2. Attempting to take logical actions
(1) Attempting to take actions that match the objectives
(2) Attempting to establish a perspective
(3) Attempting to think based on the data that can be used, previously learned items, and assumptions
3. Attempting to express matters clearly and succinctly
(1) Attempting to record and communicate problems and results clearly and succinctly
(2) Attempting to sort and organize objects when expressing them
4. Attempting to seek better things
(1) Attempting to raise thinking from the concrete level to the abstract level
(2) Attempting to evaluate thinking both objectively and subjectively, and to refine thinking
(3) Attempting to economize thought and effort
II. Mathematical Thinking Related to Mathematical Methods
1. Inductive thinking
2. Analogical thinking
3. Deductive thinking
4. Integrative thinking (including expansive thinking)
5. Developmental thinking
6. Abstract thinking (thinking that abstracts, concretizes, idealizes, and thinking that clarifies conditions)
7. Thinking that simplifies
8. Thinking that generalizes
8. Thinking that specializes
9. Thinking that symbolize
10. Thinking that express with numbers, quantifies, and figures
III. Mathematical Thinking Related to Mathematical Contents
1. Clarifying sets of objects for consideration and objects excluded from sets, and clarifying conditions for inclusion (Idea of sets)
2. Focusing on constituent elements (units) and their sizes and relationships (Idea of units)
3. Attempting to think based on the fundamental principles of expressions (Idea of expression)
4. Clarifying and extending the meaning of things and operations, and attempting to think based on this (Idea of operation)
5. Attempting to formalize operation methods (Idea of algorithm)
6. Attempting to grasp the big picture of objects and operations, and using the result of this understanding (Idea of approximation)
7. Focusing on basic rules and properties (Idea of fundamental properties)
8. Attempting to focus on what is determined by one’s decisions, finding rules of relationships between variables, and to use the same (Functional Thinking)
9. Attempting to express propositions and relationships as formulas, and to read their meaning (Idea of formulas)
(Mathematical Thinking and How to Teach It?, http://pbmmatmarsigit.blogspot.com/)

Topic: Linear Equation System with Two Variables
Aim : Knowing about student’s learning linear equation system.
I asked to student at third grade junior high school about linear equation systems. I make an example with the variable is books and pencils. If I bought three pencils and two books, the cost is Rp12.000 and if I bought two pencils and three books, the cost is Rp13.000. How the cost of each book and pencil?
She can answer that book’s cost is Rp3.000 and pencil’s cost is Rp2.000. To solve that problem, she makes idealization that pencils are same and books, too. She makes assuming that each book has a same cost and each pencil has a same cost, because if each cost is different she cannot solve that problem.
I asked her, how is the color? Are you use that to solve? She said nope because the important thing is the cost.
She makes abstraction by changed pencil with variable x and by changed book with variable y. It makes her easy to solve the problem. She can easily solve the problem with variable x and y. It makes her use elimination or substation easily.
Conclusion:
She use mathematical thinking to solve the problems, because she makes an idealization and abstraction. Idealization and abstraction including a mathematical attitudes, mathematical methods, and mathematical contents.

A category is a pure concept of the understanding. The understanding is defined as the faculty of the mind which deals with concepts. Immanuel Kant believe that human mind can regulate experience with space and time, but there is a category before an experience.

Kant arranges the forms of judgment in a table of judgments which he uses to guide the derivation of the table of categories. He creates a list of categories by first enumerating the forms of possible objective judgment which are endowed with their objectivity by virtue of their inherent apriory concepts.

Quantity of Judgments, there are universal, particular, and singular.

Quality, there are affirmative, negative, infinite.

Relation, there are categorical, hypothetical, disjunctive

Modality, there are problematic, assertoric, appodeictic

Then, Kant differentiated twelve pure concepts of understanding four classes of three, they are:

Categories of quantity, there are unity, plurality, and totality.

Categories of quality, there are reality, negation, and limitation.

Categories of relation, there are inherence and subsistence (substance and accident), causality and dependence (cause and effect), and community (reciprocity between agent and patient)

Categories of modality, there are possibility-impossibility, existence-nonexistence, and necessity-contingency.

These category is a native conception of understanding and a pure concept of understanding. Then Kant said that thought without the content with perception supply are empty. Kant said that representations must have some common ground if they are to be the source of possible knowledge, this ground of all experience is the self-consciousness of the experiencing subject. So, categories feature is an important thing for the experience.

Each category has a schema. Schemata are needed to link the pure category to sensed phenomenal appearances because the categoties are heterogeneous with sense intuition.

Sumber:

http://en.wikipedia.org/wiki/Category_(Kant)

http://en.wikipedia.org/wiki/Critique_of_Pure_Lesson

http://id.wikipedia.org/wiki/Immanuel_Kant

To make a scientific work, we have to know about scientific characteristics.
First characteristic is impersonal. It means that the scientific work might not be contained with our personal. Scientific woks should be universal and global.
Second, have a standard or criteria. It can be report, proposal, etc.
Third, have ethical code and no plagiarism.

We use mathematical thinking to make a scientific work. We can use mathematical thinking of we know about mathematics. What is mathematical object??
Mathematical object just lye in our mind. Mathematical object is coming from a concrete object and abstract object. Abstract object cannot be manipulate.
There are two way to get mathematical object:
1. Idealization --> with assumption that the object is absolutely perfect.
2. Abstraction --> just to learn a certain characteristic.

And the important thing in mathematical thinking is about consistent and logic. Consistent is suitable with the agreement. If there is one is not consistent, then all is not consistent. Logic is coming from daily life.